2 просмотров

Производная степенной функции (степени и корни)

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

По формуле (1) находим производную:
(1) ;
;
(2) .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Статья в тему:  Изготовление печатных плат с помощью компьютера. Изготовление печатных плат лутом Способ нанесения дорожек на плате

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Статья в тему:  Чем недорого отделать фасад дома: классические материалы и сайдинг – особенности использования и сравнение цен. Как сделать фасад дома красивым за небольшие деньги? Фасад здания своими руками

Теперь находим производную, применяя :
;
.
Здесь .

Формула (1) доказана.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

По формуле (1) находим производную:
(1) ;
;
(2) .

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции :

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Нахождение выражения из Х

В общем случае формула производной корня из х равна дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе произведение степени корня на корень той же степени в подкоренном выражении, где находится неизвестное, уменьшенное на единицу, в степени. Математически это теорема записывается следующей формулой: ( n √x)’ = 1 / (n * n √ x n -1 ).

Статья в тему:  Изготовление твердых свечей своими руками. Изготовление свечей в домашних условиях. Декоративные свечи своими руками

Эта формула имеет название первообразной. Она подходит для использования в выражениях любой кратности. В качестве примера можно рассмотреть взятие производной квадратного и кубического корня.

Так, для квадратного степенного уравнения справедливо выражение: (n√x)’ = 1 / 2 * √x. То есть производная квадратного корня х является дробью, делимое которой равняется единице, а делитель состоит из двойки, умножаемой на квадратный корень из неизвестного.

Аналогично можно сформулировать теорему и для нахождения производной кубического корня из x. Для этого случая решением задания на вычисление производной будет дробь, в числителе которой находится единица, а в знаменателе произведение тройки на корень кубический из икса в степени два. Формула для вычисления выглядит следующим образом: ( 3 √x)’ = 1 / (3 3 √x 2 ).

Можно обратить внимание, что, по сути, операция сводится к таким же действиям, как и при возведении дробей в степень, когда делитель равняется тому же показателю.

Иными словами, вычисление производной коренного выражения сводится к использованию формул для нахождения функции дроби.

Для доказательства формул используют следующие рассуждения. Производная переменной под квадратным корнем это то же, что и нахождение функции при возведении многочлена в степень одна вторая: (√x)’ = (х ½ )’. Поэтому можно воспользоваться формулой для расчёта производной неизвестного числа в степени эн. А значит, запись вида (х ½ )’ = ½ х -½ = 1 / (2√х) будет верной.

Формула производной третьей степени доказывается по такому же принципу. Используя правило дифференцирования и переписав кубический корень как тройную степень, можно записать: ( 3 √x)’ = (х 1/3 )’ = 1 / 3 * (x- 2/3 ) = 1 / 3 * ( 3 √х 2 ). Тут следует отметить, что степень -2/3 образовывается путём вычитания единицы из дроби, в числителе которой стоит два, а в знаменателе три.

Статья в тему:  Рецепты по правильному питанию. Здоровое питание: советы, рецепты, меню на каждый день. Видео о рецептах ПП на каждый день для похудения

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac<1><<^>>$ представимо в виде $<^<-n>>$. Следовательно,

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

Первый пример решен, переходим ко второму:

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft( x right)=. $, во втором: $y=. $ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft( x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft( x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Статья в тему:  Эзотерика что за наука. Влияние на окружающий мир. Традиционные религии мира

Расчёт на онлайн-калькуляторе

Попрактиковавшись в решении различных примеров, найти производную корня простых выражений будет довольно просто. Но если в заданиях будут стоять двойные корни или сама функция будет содержать большой многочлен, могут возникнуть проблемы. Связаны они обычно не с алгоритмом решения, а с трудностью вычисления и преобразования.

Такого рода задачи требуют повышенного внимания и скрупулёзности в расчётах. При этом поиску ответа понадобится уделить довольно много времени. Поэтому для помощи в нахождении производных коренных функций и существуют в интернете математические онлайн-калькуляторы.

Это сервисы, предлагающие бесплатно услуги по автоматическому расчёту производной любой сложности. Воспользоваться ими может каждый желающий, имеющий доступ к интернету. Для нахождения ответа не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — ввести в предложенную форму условие и нажать кнопку «Вычислить». Весь процесс расчёта займёт одну-две секунды.

При этом большинство сервисов, кроме предоставления ответа на своих страницах, дает возможность ознакомиться с теоретическим материалом и предлагает рассмотреть решения заданий различной сложности. Поэтому вопроса, каким образом получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.

Из различных онлайн-калькуляторов, считающих производные, можно выделить следующие:

  1. Webmath.
  2. Kontrolnaya-rabota
  3. Onlinemschool.
  4. Сalc.
  5. Nauchniestati.

Сайты, используемые для вычислений, характеризуются интуитивно понятным интерфейсом, не содержащим нагромождения ненужной информации. На их страницах нет рекламного и вирусного кода.

Примечательно и то, что, выполнив пару вычислений, пользователь научится самостоятельно вычислять производную. А всё дело в том, что особенностью таких ресурсов является возможность обучения. Кроме непосредственно ответа, программа-расчётчик выдаст пошаговое вычисление с комментариями.

Статья в тему:  Во сне нести большой старый чемодан. Собирать чемодан

Кроме учащихся, онлайн-калькуляторы будут полезны и инженерам. Даже незначительная ошибка, допущенная в расчёте, приведёт к неверному ответу. В то же время при автоматических вычислениях появление ошибки исключено.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector