0 просмотров

Как сокращать алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Алгебраические дроби

теория по математике алгебраические выражения

Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.

Примеры алгебраических дробей:

Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.

Сокращение алгебраической дроби

Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.

Статья в тему:  Как вывести вшей — основные способы. Лечение педикулеза в домашних условиях народными способами

Пример №1. Сократим дробь:

В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:

Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.

Пример №2. Сократим дробь:

Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m 5 :

Пример №3. Сократим дробь:

В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).

Пример №4. Сократим дробь:

Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m 2 – n 2 =(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

Статья в тему:  Красивые ворота из штакетника. Делаем калитку из евроштакетника: гостей встречать надо красиво. Процесс изготовления сдвижных ворот с евроштакетником

Пример №5. Выполним сложение дробей:

Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

Пример №6. Выполним вычитание дробей:

В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:

  1. найти общий знаменатель, который может состоять из таких множителей, как числа, степени, многочлены и т.д.
  2. Найти дополнительный множитель к каждой дроби.
  3. Умножить каждый числитель на его дополнительный множитель.
  4. Выполнить сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.
  5. При необходимости сократить полученную дробь.

Пример №7. Выполнить сложение дробей:

Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.

Статья в тему:  Кто такая старая дева? Почему становятся старыми девами

Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.

Пример №8. Выполнить вычитание дробей:

Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а 2 – с 2 =(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).

Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).

Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).

Умножение алгебраических дробей

Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

Пример №9. Выполнить умножение дробей:

Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

Пример №10. Выполнить умножение дробей:

Здесь в числителях и знаменателях — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.

Статья в тему:  Где лучше искать клады металлоискателем. Где искать клад? Выбираем место поиска клада. Как найти клад с помощью магии и что такое зачарованный клад

Деление алгебраических дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.

Пример №11. Выполнить деление дробей:

Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Статья в тему:  Маша галактика кто это. Как открыли другие галактики Мир галактик открыл э хаббл

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

при x = √45 , y = 0,5

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector